এক ব্যবসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে 1 বছর পর কিছু টাকার উপর 5% এবং বশিষ্ট টাকার উপর 4% লাভ করলেন। মোট লাভ 256 টাকা হলে, তিনি কত টাকার উপর 5% লাভ করলেন?

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, ব্যবসায়ী \(5\%\) লাভে \(x\) টাকা বিনিয়োগ করেছিলেন।

তাহলে, \(4\%\) লাভে বিনিয়োগ করা টাকার পরিমাণ ছিল \((5600 - x)\) টাকা।

প্রথম অংশ থেকে লাভ:

\[ x \times 5\% = x \times \frac{5}{100} = \frac{5x}{100} \text{ টাকা} \]

দ্বিতীয় অংশ থেকে লাভ:

\[ (5600 - x) \times 4\% = (5600 - x) \times \frac{4}{100} = \frac{4(5600 - x)}{100} \text{ টাকা} \]

মোট লাভ \(256\) টাকা হওয়ায়, আমরা লিখতে পারি:

\[ \frac{5x}{100} + \frac{4(5600 - x)}{100} = 256 \]

উভয় পক্ষকে \(100\) দ্বারা গুণ করে:

\[ 5x + 4(5600 - x) = 256 \times 100 \] \[ 5x + 22400 - 4x = 25600 \] \[ x + 22400 = 25600 \]

\(x\) এর মান বের করতে \(22400\) কে ডান পাশে সরিয়ে নিই:

\[ x = 25600 - 22400 \] \[ x = 3200 \]

সুতরাং, তিনি \(3200\) টাকার উপর \(5\%\) লাভ করেছিলেন।

💡 শর্টকাট টেকনিক (মিশ্রণ পদ্ধতি বা Alligation Method):

মোট বিনিয়োগ = \(5600\) টাকা

মোট লাভ = \(256\) টাকা

গড় লাভের হার = \(\frac{\text{মোট লাভ}}{\text{মোট বিনিয়োগ}} \times 100\%\)

\[ = \frac{256}{5600} \times 100\% \] \[ = \frac{256}{56}\% \] \[ = \frac{32}{7}\% \]

এখন, মিশ্রণ পদ্ধতি ব্যবহার করে \(5\%\) এবং \(4\%\) হারে বিনিয়োগকৃত অর্থের অনুপাত নির্ণয় করব:

                                                                                                        

\(5\%\) হার		\(4\%\) হার
	\(\frac{32}{7}\%\) (গড়)
\(\left(\frac{32}{7} - 4\right)\%\)		\(\left(5 - \frac{32}{7}\right)\%\)
\(\left(\frac{32 - 28}{7}\right)\%\)		\(\left(\frac{35 - 32}{7}\right)\%\)
\(\frac{4}{7}\%\)		\(\frac{3}{7}\%\)

\(5\%\) লাভে বিনিয়োগ : \(4\%\) লাভে বিনিয়োগ \(= \frac{4}{7} : \frac{3}{7} = 4 : 3\)

মোট অনুপাতিক অংশ = \(4 + 3 = 7\)

\(5\%\) লাভে বিনিয়োগকৃত অর্থ = \(\frac{4}{7} \times 5600\) টাকা

\[ = 4 \times 800 \text{ টাকা} \] \[ = 3200 \text{ টাকা} \]